[Chap13]-降维

内容纲要

这节谈一下降维问题(Dimensionality Reduction)

动机1: 数据压缩

通常来说, 我们收集到的数据集有很多特征, 这里挑选其中两个画在这里

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两个特征分别是长度(cm)和长度(inch), 当然因为测量误差, 四舍五入等原因, 点不一定在精确的一条直线上

事实上我们知道这两个特征相关度非常大, 以至于可以舍弃其中一个

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以上是二维到一维的降维, 也可以从三维到二维

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压缩数据可以节省内存空间, 加快模型运算效率等

动机2: 数据可视

在很多问题中, 如果我们可以将数据可视化, 就方便找到一个较好的解决方案

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假设我们有许多不同国家数据, 每一个特征向量都是50维的, 如总GDP, 人均GDP, 平均寿命等. 要将其全部可视化是不可能的, 如果可以降至二维, 便可以看到

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然而问题在于, 降维只负责减少维数, 新产生特征的意义必须由我们自己发现

主成分分析算法(PCA)

PCA是最常见的降维算法之一

在PCA中, 我们希望找到一个方向向量, 使得当我们把所有数据投影到其上时, 投影平均均方差最小

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上图画出了投影误差的定义, 实际上就是到这个直线的距离

这里很多人会觉得和线性回归很像, 实则不然

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线性回归最小化的是拟合误差(左图), PCA最小化的是投影误差(Projected error)(右图)

PCA的优点在于无参数限制, 即, 在计算过程中不需要人为的设定参数或者干预, 最后的结果只和数据有关

这点也可以看作缺点, 如果使用者对PCA对象有一定的先验知识, 但却无法干预算法进程, 可能会得不到预期的效果

PCA的过程

第一步: 均值归一化, 计算出所有特征的均值, 然后向特征做差, 如果特征在不同量级上, 还需要除以标准差的平方

第二步: 计算协方差矩阵(Covariance matrix)

协方差矩阵写作大写的sigma, 看起来和求和符合完全一致, 计算方法如下

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下面用红笔写出了矩阵形状, 所以协方差矩阵是n×n的

第三步: 求解协方差矩阵的特征向量(eigenvectors)

在octave里可以用奇异值分解(singular value decomposition, SVD)来求解

[U, S, D] = svd(sigma)

对于一个size为[n, n]的矩阵, 上面的U是一个具有与数据之间最小投射误差的方向向量构成的矩阵, 当我们希望将数据压缩至k维时, 就取U中的前k个向量, 获得一个size为[n, k]的矩阵, 记为U_reduce

新的特征向量为

z^{(i)}=U^T_{reduce} *x^{(i)}

x的size是[n, 1], 所以结果size是[k, 1]

选择k的值

PCA的主要优化对象是均方差

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我们希望均方差与训练集方差的比例尽可能小的前提下, 让k尽可能小

如果这个比例小于1%, 则意味着原有数据被保留了99%

一种方法是分别令k=1, 2, 3, …以此类推, 直到我们找到一个满足保留率的k值

但是更好的方法是分析调用svd函数得到的3个参数U, S, V

S是一个[n, n]对角矩阵, 可以用它计算均方差和训练集的比例:

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数据解压

PCA将高维数据压缩到低维, 如果要将低维数据还原, 总是有损失的

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如图, 解压后的数据只能是原数据在低维的投影

压缩的公式是

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解压公式就是

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PCA的应用建议

在降维过程中, 不可避免的会造成信息丢失, PCA并不是百利而无一害的

第一条: 不要一开始就考虑用PCA, 先试试不用PCA实现目的, 如果遇到内存瓶颈或者效率不高时再考虑

第二条: 不要尝试用PCA解决过拟合问题, 即使PCA可以带来维度下降, 对防止过拟合有好处, 甚至可能会效果不错, 但是防止过拟合不是一个应用PCA的动机

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